Векторы и метод координат

Координаты вектора по началу и концу. Найти координаты вектора по координатам его начала и конца: из координат конца вычесть координаты начала, сохранив порядок координат. Вектор задаётся началом и концом, а его координаты — разностями: из координаты конца вычитается координата начала. Для точек A(x_{A}; y_{A}) и B(x_{B}; y_{B}) вектор \overrightarrow{AB} имеет координаты \left(x_{B} - x_{A}; y_{B} - y_{A}\right). Порядок важен: \overrightarrow{BA} — противоположный вектор, его координаты отличаются знаками. Нулевые и отрицательные разности — обычные значения. Проверить себя можно переводом: от конца к началу вектор должен возвращать назад.

Равенство векторов. Определить, равны ли векторы, по их координатам и найти недостающую точку из равенства векторов, включая противоположные векторы. Векторы равны, когда равны их соответствующие координаты: \overrightarrow{a} = \overrightarrow{b} означает x_{a} = x_{b} и y_{a} = y_{b}. Длины тут недостаточно: направление тоже должно совпадать. Противоположный вектор имеет координаты с противоположными знаками: \overrightarrow{AB} = -\overrightarrow{CD}. Из равенства векторов находится недостающая точка: записываются координаты обоих векторов через известные точки, и каждое равенство координат превращается в уравнение.

Действия с векторами по координатам. Выполнить сложение, вычитание и умножение вектора на число по координатам: действовать с каждой координатой отдельно и не терять знаки. По координатам действия с векторами покоординатные. Сумма: \left(x_{1} + x_{2}; y_{1} + y_{2}\right). Разность: вычитаем соответствующие координаты, из вектора a — вектор b. При умножении на число каждая координата умножается на это число; отрицательное число меняет направление вектора. Удобная проверка: сложение и вычитание взаимно обратны, \vec{a} + \vec{b} - \vec{b} = \vec{a}.

Длина вектора и расстояние между точками. Найти длину вектора или расстояние между точками: посчитать сумму квадратов разностей координат и извлечь корень точно — рациональным числом или упрощённой записью с корнем. Длина вектора с координатами \left(x; y\right) равна \sqrt{x^{2} + y^{2}}: под корнем сумма квадратов, а не сумма координат. Расстояние между точками считается так же — это длина вектора между ними. Если под корнем полный квадрат, ответ рациональный: \sqrt{16 + 9} = 5. Если нет, ответ остаётся с корнем и упрощается вынесением множителя: \sqrt{8} = 2\sqrt{2}. Ответ точный: приближённая десятичная запись точного корня не считается ответом, она годится только для проверки порядка.

Координаты середины отрезка. Найти координаты середины отрезка по его концам и восстановить конец отрезка по середине и второму концу. Координаты середины — полусуммы соответствующих координат концов: M = \left(\dfrac{x_{1}+x_{2}}{2}; \dfrac{y_{1}+y_{2}}{2}\right). Делить пополам нужно каждую координату отдельно; сумма без деления — типичная ошибка. При нечётной сумме середина получает половинки — это точный ответ, а не ошибка. Обратная задача: если M — середина AB, то B = 2M - A: из формулы середины выражается неизвестный конец.