Квадратные уравнения

Неполные квадратные уравнения. Решить неполное квадратное уравнение: по отсутствующему коэффициенту выбрать вид, разложить на множители или разделить на коэффициент при x², перечислить все корни или обосновать их отсутствие. В неполном уравнении один из коэффициентов равен нулю, и общая формула не нужна. Если свободного члена нет, слева общий множитель x: 3x^{2} - 12x = x(3x - 12), произведение равно нулю, когда хотя бы один множитель равен нулю, поэтому корни 0 и 4. Если слагаемого с x нет, остаётся x^{2} = k: при k > 0 корни два, x = \pm\sqrt{k}; при k = 0 корень один, x = 0; при k < 0 корней нет, потому что квадрат числа не бывает отрицательным. Проверить себя можно подстановкой каждого корня в исходное уравнение.

Полное квадратное уравнение и дискриминант. Решить полное квадратное уравнение: при необходимости привести к стандартному виду, вычислить дискриминант, определить число корней и найти их по формуле, включая дробные корни и случаи «корней нет». Полное квадратное уравнение решается по одному правилу. Сначала запись приводится к виду ax^{2} + bx + c = 0: все слагаемые переносятся влево с переменой знака. Затем вычисляется дискриминант D = b^{2} - 4ac: он показывает, сколько у уравнения корней. При D > 0 корней два, при D = 0 один кратный корень x = -\dfrac{b}{2a}, при D < 0 корней нет. Сами корни находят по формуле x = \dfrac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}: минус перед b нельзя терять, а знаменатель 2a относится и к плюсу, и к минусу. Дробные корни — обычный случай: 2x^{2} - 5x + 2 = 0 даёт x_{1} = \dfrac{1}{2}, x_{2} = 2. Проверка подстановкой подтверждает каждый корень.

Иррациональные корни квадратного уравнения. Решить квадратное уравнение, у которого корни иррациональные: упростить корень из дискриминанта вынесением множителя, сократить запись корней и записать оба точных значения. Если дискриминант не является полным квадратом, корни остаются с корнем — и это точный ответ, а не «недоделка». Сначала корень из дискриминанта упрощается: \sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = 2\sqrt{3}. Затем корни записываются по формуле и сокращаются: для x^{2} - 4x + 1 = 0 получается x = \dfrac{4 \pm 2\sqrt{3}}{2} = 2 \pm \sqrt{3}. В общем виде знаменатель 2a относится ко всей записи: x_{1} = \dfrac{-b - \sqrt{D}}{2a}, x_{2} = \dfrac{-b + \sqrt{D}}{2a}. Корень в знаменателе не остаётся, приближённая десятичная запись точного корня ответом не считается: требуется именно запись с корнем. Приближённое значение годится только для проверки порядка.