Многочлены

Приведение подобных членов. Находить подобные члены и приводить многочлен к стандартному виду. Подобные члены — это члены с одинаковой буквенной частью, например 3x^{2} и -5x^{2}. Складываются только их коэффициенты, а буквенная часть остаётся прежней: 3x^{2} - 5x^{2} = -2x^{2}. Знак перед членом — часть его коэффициента.

Сложение и вычитание многочленов. Раскрывать скобки со знаком плюс и минус перед ними и приводить подобные члены. Плюс перед скобками знаков в скобках не меняет, а минус меняет знак у каждого члена в скобках: -\left(2x^{2} - 3x + 1\right) = -2x^{2} + 3x - 1. После этого приводят подобные члены.

Умножение одночлена на многочлен. Умножать одночлен на многочлен, не теряя членов и знаков. Одночлен умножают на каждый член многочлена и складывают произведения. Показатели одной и той же буквы при умножении складываются: 2x \cdot 3x^{2} = 6x^{3}. Если одночлен отрицательный, знак меняется у каждого произведения.

Вынесение общего множителя за скобки. Находить наибольший общий множитель членов многочлена и выносить его за скобки. Общий множитель — это наибольший общий делитель коэффициентов и буквы, которые есть в каждом члене, в наименьшей степени. В скобках остаются частные от деления каждого члена на общий множитель. Проверка простая: раскрой скобки — должно получиться исходное выражение.

Умножение многочлена на многочлен. Перемножать многочлены: каждый член первого на каждый член второго. Каждый член первого многочлена умножают на каждый член второго, а затем приводят подобные члены. Из двух скобок по два члена получается четыре произведения — ни одно нельзя пропустить.

Разложение на множители способом группировки. Раскладывать многочлен на множители, группируя его члены. Члены объединяют в группы так, чтобы после вынесения общего множителя из каждой группы в скобках получилось одно и то же выражение. Эту общую скобку и выносят: a(x + y) + b(x + y) = (a + b)(x + y). Если из группы выносят множитель с минусом, знаки всех членов в скобке меняются: -4y + 6 = -2(2y - 3).