Делимость натуральных чисел

Делители и кратные. Перечислить все делители натурального числа и все его кратные в заданных границах: полные наборы без пропусков и лишних чисел. Делители ищут парами до корня из числа: 18=2\cdot9 даёт сразу 2 и 9, а 18=1\cdot18 добавляет края. У простого числа делителей ровно два. Кратные получают умножением: 7;\ 14;\ 21;\ 28 — кратные 7, пока не дойдём до границы 30; следующее, 35, уже за краем. Порядок перечисления роли не играет, но каждый элемент набора обязан подходить.

Признаки делимости. Определить по признакам, на какие из чисел 2, 3, 5, 9, 10 делится данное число, и выписать все подходящие. Последняя цифра отвечает за делимость на 2, 5 и 10: чётная цифра, ноль или пятёрка. Сумма всех цифр отвечает за делимость на 3 и 9. Девять сильнее трёх: 234 имеет сумму цифр 9, поэтому делится и на 9, и на 3; у 24 сумма 6 делится на 3, но не на 9. Если ни один признак не подошёл, подходящих чисел нет — это полноценный ответ.

Простые и составные числа. Различать простые и составные числа и записывать число произведением только простых множителей. Простое число имеет ровно два делителя, составное — больше двух, а единица — один, поэтому она ни то ни другое. Любое составное число раскладывается на простые: делим на наименьший простой делитель, пока не получим простое. Порядок множителей свободный, кратность важна: 84=2\cdot2\cdot3\cdot7. Равное произведение с составным множителем, например 4\cdot21, разложением не считается. Двойка — единственное чётное простое.

НОД и НОК. Находить наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное двух чисел через разложения на множители. Для наибольшего общего делителя берут общие множители обоих разложений по наименьшей кратности: у чисел 12 и 18 это 2\cdot3=6. Для наименьшего общего кратного берут все множители обоих чисел, повторяющиеся — по наибольшей кратности: 2^{2}\cdot3^{2}=36. У взаимно простых чисел наибольший общий делитель равен 1, а наименьшее общее кратное равно произведению. Если одно число делится на другое, делитель — меньшее число, кратное — большее.

Деление с остатком. Разделить с остатком и назвать обе роли: частное и остаток, сохранив связь делимого, делителя, частного и остатка. Делимое равно делителю, умноженному на частное, плюс остаток: 157=12\cdot13+1. Остаток всегда меньше делителя. Нулевой остаток означает деление нацело: 24=8\cdot3+0. Если делимое меньше делителя, частное равно нулю: 7=12\cdot0+7. Частное и остаток — разные роли, переставлять их нельзя; проверка идёт умножением и сложением.