Конечная и периодическая запись

Запись числа десятичной дробью. Записать сокращённую дробь или смешанное число конечной или периодической десятичной дробью: по множителям знаменателя определить вид записи, делением с остатком найти цифры, период записать в скобках. Делим числитель на знаменатель углом и следим за остатками. Если знаменатель раскладывается только на двойки и пятёрки, деление заканчивается: запись конечная. Такую дробь удобно привести к знаменателю 10, 100 или 1000: \dfrac{3}{8}=\dfrac{375}{1000}=0{,}375. Целая часть переходит в запись сама: 2\dfrac{1}{4}=2{,}25. Если у знаменателя есть множитель кроме 2 и 5, остатки начинают повторяться, и цифры после запятой повторяются вместе с ними. Повторяющийся блок называют периодом и пишут в скобках: \dfrac{1}{3}=0{,}(3). Цифры между запятой и скобкой — предпериод: \dfrac{1}{6}=0{,}1(6). Период пишут самым коротким повторяющимся блоком: 0{,}1(66) — это 0{,}1(6). Период из девяток не пишут: 0{,}1(9) — это 0{,}2, конечная запись. Проверить себя можно обратным переходом: конечная запись читается со знаменателем-степенью десяти, 0{,}375=\dfrac{375}{1000}=\dfrac{3}{8}.

Периодическая дробь в обыкновенную. Представить периодическую десятичную дробь обыкновенной дробью и сократить её: чистый и смешанный период, целая часть и знак минус. Чистый период — когда цифры после запятой повторяются сразу: 0{,}(27). Его числитель — сами цифры периода, а знаменатель — столько девяток, сколько цифр в периоде: 0{,}(27)=\dfrac{27}{99}=\dfrac{3}{11}. У смешанного периода перед скобкой стоит предпериод: 0{,}2(7). Тогда числитель — все цифры после запятой минус предпериод: 27-2=25, а знаменатель — девятки за каждую цифру периода и нули за каждую цифру предпериода: 0{,}2(7)=\dfrac{25}{90}=\dfrac{5}{18}. Целая часть прибавляется к переведённой дробной части: 2{,}(3)=2+\dfrac{3}{9}=\dfrac{7}{3}. Знак минус относится ко всей записи: -0{,}(6)=-\dfrac{6}{9}=-\dfrac{2}{3}. Ответ сокращают полностью; период из девяток в таких заданиях не встречается, потому что такая запись конечная.